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Giordano José Loureiro, Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará / Profissional Liberal,
giordano@giordano.eng.br, Fortaleza, CE

resumo: O objetivo desse trabalho é apresentar à comunidade da engenharia de estruturas uma análise do dimensionamento de lajes à punção, principalmente, das tensões de cisalhamento provocadas pelos esforços solicitantes, segundo a NBR 6118. No entanto, ele não se limitará apenas a transcrever as fórmulas e as recomendações da norma. O seu intuito é fazer uma análise crítica das mesmas, mostrandoa origem de algumas fórmulas e deduzindo outras equações que lá não constam, o que irá conduzir a divergências em relação a outros trabalhos publicados a respeito do assunto. Serão abordados somente os itens da norma que precisam ser esclarecidos ou que necessitam de complementação para a sua devida aplicação. Inicialmente, foi feita a definição dos perímetros críticos onde serão comparadas as tensões solicitantes com as tensões resistentes de cálculo. Foi apresentado, também, um método simplificado para o pré-dimensionamento à punção, onde astensões solicitantes são calculadas apenas em função da força normal ou reação de apoio, quando ainda não são conhecidos os valores dos momentos não balanceados que devem ser transferidos aos pilares. Em função das tensões resistentes especificadas pela NBR 6118, deduzimos a fórmula para o cálculo da armadura de punção num contorno completo paralelo ao perímetro crítico C’ e fizemos algumas considerações sobre o detalhamento dessas armaduras. Por fim, foram indicados os critérios para a verificação da tensão de punção no contorno C” a uma distância 2d do último perímetro da armadura.

• Perímetro C, adjacente ao contorno do pilar, onde se verifica, indiretamente, a tensão de compressão diagonal no concreto;

• Perímetro C’, paralelo ao contorno do pilar a uma distância 2d do mesmo, de forma que o seu comprimento seja mínimo, onde se verifica a tensão de tração diagonal no concreto, para seções com ou sem armadura de punção;

• Perímetro C’’, a uma distância 2d do último perímetro de armadura, onde as tensões de cisalhamento devem ser resistidas somente pelo concreto.

Figura 1 - – Distribuição de tensões devido ao momento não balanceado – pilar de borda

(Equação1)

(Equação 2)

No caso dos pilares de borda, de acordo com a NBR 6118, a primeira parcela da tensão solicitante τsd corresponde à tensão de cisalhamento provocada pela força ou reação de apoio distribuída uniformemente ao longo do perímetro crítico reduzido u*, definido Figura 2.

Segundo o Eurocode 2 e o Model Code 90 do CEB-FIP, deve-se usar em princípio o perímetro crítico u para o cálculo de τsd. O perímetro reduzido u* só é utilizado quando o momento a ser transferido ao pilar é desprezado (no caso de excentricidade para o interior da laje) e as tensões devido à força normal são majoradas, considerando-as uniformemente distribuídas num perímetro crítico reduzido u*, ou seja, .

Em relação à segunda parcela da Equação 1, duas observações importantes devem ser feitas para o caso do pilar de borda:

1.

(Equação 3)

Figura 2 – Perímetros críticos para pilares de borda

A expressão de Wp1 é semelhante à do momento estático do perímetro crítico em relação ao eixo que passa pelo cgu do mesmo.

Como os momentos estáticos dos semiperímetros à esquerda e à direita em relação ao eixo que passa pelo cgu são iguais, o valor de Wp1 é igual a duas vezes o momento estático de um dos semiperímetros.

Se eo ≤ C1 , chega-se a:(Equação 8)

Por questão de simplicidade, será adotada a mesma fórmula mesmo quando eo > C1, pois a diferença em relação ao cálculo exato é muito pequena.

b) No caso em que o momento atua num plano paralelo à borda livre, o valor da tensão solicitante será:

(Equação 9),

onde:

k2 = k dado na Tabela 19.2, para C2/2C1 em vez de C1/C2;
MSd2 = momento não balanceado de cálculo a ser transmitido pela laje ao pilar;
u* = perímetro crítico reduzido definido na Figura 2;
Wp2 = módulo de resistência plástica do perímetro crítico u calculado em relação ao eixo que passa pelo seu c.g. e é perpendicular à borda livre,


Nesse caso, o fato de se usar u* ou u para o cálculo das tensões devido à força vertical não afeta a condição de equilíbrio dos esforços atuantes, uma vez que os centros de gravidade dos dois perímetros estão sobre o eixo em relação ao qual atua o momento não balanceado.
Para a seção retangular da Figura 2, chega-se à expressão do módulo de resistência plástica em relação ao eixo perpendicular à borda livre, que passa pelo cgu do perímetro crítico u:

(Equação 10)

(Equação 11)

Figura 3 - Perímetros críticos para pilares de canto

(Equação 12)

Segundo o Eurocode 2 e o Model Code 90 do CEB-FIP, deve-se usar em princípio o perímetro crítico u para o cálculo de τsd. O perímetro reduzido u* só é utilizado quando o momento a ser transferido ao pilar é desprezado (no caso de excentricidade para o interior da laje) e as tensões devido à força normal são majoradas, considerando-as uniformemente distribuídas num perímetro crítico reduzido u*, ou seja, .

A verificação da tensão deverá ser feita separadamente para cada direção, considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre em questão.

Valem, nesse caso também, as duas observações feitas no item anterior para pilares de borda com momento atuando na direção perpendicular à mesma, que foram:

• Wp1 deve ser calculado em relação ao eixo que passa pelo c.g.u do perímetro crítico u, e não em torno do eixo que passa pelo c.g. do pilar;

• O momento a ser transferido ao pilar deve ser subtraído de Fsd*g, onde g é a excentricidade do perímetro crítico u (Figura 3), ou seja:

(Equação 13)

Como já foi visto, o valor de Wp1 é igual a duas vezes o momento estático do semiperímetro à esquerda do eixo que passa pelo c.g.u. em relação a esse mesmo eixo.

Se eo ≤ C1 , tem-se: (Equação 18)

Por questão de simplicidade, será adotada esta fórmula mesmo quando eo > C1, pois a diferença em relação ao cálculo exato é muito pequena.

2.3 Método aproximado para cálculo de τSd

Nas lajes lisas e cogumelos, a punção é, na maioria dos casos, o fator determinante na escolha da espessura da laje e da altura dos capitéis. Portanto, é importante dispor de um processo expedito para pré-dimensionar a laje e decidir sobre a necessidade do uso de capitéis.

O método consiste em majorar a força normal, de modo a compensar o efeito do momento que ainda não é conhecido, usando a seguinte expressão para calcular a tensão solicitante máxima:

(Equação 19)

Deve-se evitar o uso de capitéis curtos, adotando-se de modo que no contorno C1’, possa ser considerada a altura útil do capitel dc, pois o plano de ruptura à punção estará totalmente dento do capitel.

O Eurocode 2 admite que, mesmo para lajes ou sapatas de altura variável, seja adotada a altura útil na face do pilar.

Sendo ; onde uo é o perímetro de um contorno C circunscrito ao pilar e traçado de maneira que o seu comprimento seja mínimo.

Essa primeira verificação é quase sempre atendida, pois o valor de é relativamente alto.

Por exemplo, para um concreto com fck = 25 MPa, tem-se = 4.34 Mp.

Caso isso não aconteça, o concreto pode romper por compressão diagonal, que é uma ruptura sem aviso prévio e deve ser evitada adotando as seguintes alternativas:

• Aumentar o valor de fck;
• Aumentar a espessura da laje;
• Aumentar as dimensões do pilar;
• Criar um capitel em torno do pilar.

; onded = altura útil média da laje em cm e

• Aumentar o valor de fck;
• Aumentar a espessura da laje;
• Aumentar as dimensões do pilar;
• Criar um capitel em torno do pilar;
• Aumentar a taxa de armadura de flexão aderente.

Quando ou seja, se somente o concreto não for capaz de resistir às tensões de tração provocadas pela punção, a resistência das seções pode ser aumentada usando-se armaduras, de preferência três ou mais linhas de conectores tipo pino com extremidades alargadas (studs), distribuídos conforme Figura 4. Deve-se ter, então:

, onde:

área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C’;
espaçamento entre os perímetros de armadura de punção, na direção radial ou na direção perpendicular ao contorno do pilar, conforme Figura 4.
A NBR 6118 recomenda e o ACI 318 exige
u = perímetro crítico ou reduzido no caso de pilar de borda e de canto;
α = ângulo de inclinação entre o eixo da armadura e o plano da laje. Para o caso dos conectores e estribos verticais, sen α = 1.
Seria mais lógico usar o perímetro u, também, para os pilares de borda e de canto, como faz o Eurocode, uma vez que a armadura de punção deve ser distribuída até a borda livre da laje.

- Cálculo da armadura de punção:

A expressão acima mostra que, além da armadura, existe uma contribuição do concreto na resistência à punção. Para o caso de armaduras transversais verticais, chamando de tca contribuição do concreto e fazendo

, tem-se:

(Equação 22)

Fazendo ,a equação acima pode ser escrita da seguinte forma:


,a qual é semelhante à expressão usada para o cálculo da armadura de cisalhamento em vigas, que é

A NBR 6118 limita a resistência de cálculo da armadura de punção:

(p/ conectores) e 250 Mpa (p/ estribos), em lajes com espessura até 15 cm;
, para lajes com espessura maior que 35 cm.

Para valores intermediários de espessuras de laje, poderá ser feita interpolação linear.

3.3 Terceira Verificação

Quando for utilizada armadura de punção, deve-se verificar se num contorno C’’ afastado 2d do último perímetro da armadura transversal, o concreto é capaz de resistir sozinho às tensões de punção, ou seja,Deverão ser acrescentados tantos perímetros de armadura transversal quantos sejam necessários para atender a esse requisito.

Note-se que o contorno C’’ não é mais paralelo ao contorno do pilar, assumindo a forma indicada na Figura 4.

A tensão solicitante de cálculo poderá ser obtida pela expressão abaixo:

,

• a) a uma distância 2d do último perímetro da armadura, essa parcela é pequena quando comparada com o valor da tensão de cisalhamento devido à força normal;

• b) é complicado o cálculo do módulo de resistência plástica Wp1 do contorno C’’.

Figura 4 – Perímetros críticos e detalhe dos studs em planta

A NBR 6118 exige que a disposição da armadura de punção em planta seja tal que a distância entre dois studs seja no máximo 2d, para que possamos considerar o perímetro C” inteiro. Para isso, teríamos que usar studs, também,na direção diagonal.

O ACI 318 recomenda a disposição dos studs como na Figura 4, facilitando desta forma a colocação da armadura negativa passiva mínima, que deve ser colocada nas duas direções numa faixa igual a C + 3d e dos cabos de protensão concentrados sobre os apoios.
Por razões de simplicidade, recomenda-se o perímetro C”(Sugerido), com trechos retos, que está baseado no contorno adotado pelo ACI 318.

4 Análise Crítica

A NBR 6118/2003 adotou no dimensionamento de lajes à punção quase a mesma formulação do Eurocode 2, que por sua vez manteve os mesmos critérios do CEB-FIP Model Code 90.
Por exemplo, para o cálculo das tensões resistentes (19.5.3.2) e (19.5.3.3) na superfície crítica C’, nossa norma adotou as mesmas fórmulas do Eurocode 2, apenas adaptando o coeficiente ao nosso coeficiente de minoração do concreto, o que resultou no valor para o cálculo de e para o cálculo de .
No entanto, a NBR 6118 apresenta para o cálculo das tensões solicitantes, no caso de pilares de borda e de canto, formulações diferentes daquelas constantes nas normas européias.

Segundo o Eurocode 2 e o CEB-FIP Model Code 90, tanto para o caso de pilares de borda, quando a excentricidade do momento atuante é perpendicular à mesma e não existe excentricidade paralela à borda, assim como nos pilares de canto, desde que a excentricidade seja para o interior da laje, pode ser calculado admitindo-se uma distribuição uniforme das tensões de cisalhamentono perímetro crítico reduzido u*, ou seja,

È importante salientar que a formulação do CEB-FIP Model Code 90 é, fundamentalmente, empírica e que suas hipóteses foram comparadas com os resultados de ensaios efetuados por diversos pesquisadores, demonstrando que as mesmas são apropriadas para o dimensionamento de lajes à punção.

Ao optar pelo cálculo da tensão solicitante considerando além das tensões devido à força vertical as tensões provocadas pelos momentos, a NBR 6118 deveria calcular essas tensões utilizando unicamente o perímetro crítico u, como preconiza o CEB-FIP Model Code 90, o qual nos itens referentes a pilares de borda e de canto diz que em princípio a distribuição de tensões de cisalhamento para o cálculo de tsd deve ser feita em torno do perímetro u.

O perímetro crítico u, também, é adotado pelo ACI 318 no dimensionamento à punção,tanto para o cálculo das tensões devido à força vertical como das tensões provocadas pelos momentos.

Outro item da NBR 6118 que merece reparo é o que trata de capitéis (19.5.2.5), onde a altura da seção C1’, dentro do capitel, recomendada para o cálculo das tensões é menor do que a altura do capitel na face do pilar.
O Eurocode 2 recomenda, para a verificação das tensões de punção, mesmo no caso de capitel com altura variável, que se utilize a altura do capitel na face do pilar. Um exemplo disso é o cálculo de punção em sapatas.

5 Exemplo de dimensionamento à punção - Pilar de borda

5.1 Dados

5.2 Primeira Verificação

- Tensão resistente de compressão diagonal do concreto no contorno C do pilar:

• Percentual do momento a ser transferido por cisalhamento

C1/C2 = 400/500 = 0,8. Interpolando na tabela 19.2 temos k=0,54.

• Propriedades geométricas

• Tensão solicitante

Nesta verificação admite-se que os efeitos do momento são desprezíveis.

Tendo-se adotado sr = 85 mm, ou seja, sr = 0,5d, o número de perímetros de conectores vale:

T. Y. LIN and NED H. BURNS. Design of Prestressed Concrete Structures. Third Edition, 1982. MICHAEL P. COLLINS and DENIS MITCHELL. Prestressed Concrete Basics. Canadian Prestressed Concrete Institute, 1987. BIJAN O. AALAMI. Design of Post-Tensioned Floor Slabs. ACI Concrete International. June 1989. GIORDANO JOSÉ LOUREIRO. Teoria e Prática Atuais do Projeto de Lajes Protendidas. Apostila do Curso. Shear Reinforcement for Slabs - ACI 421.1R-99. American Concrete Institute. Building Code Requirements for Structural Concrete - ACI 318M-02. American Concrete Institute. Eurocode 2: Design of concrete structures. European Standard. fib Bulletin 2: Structural Concrete. (7.4) Punching – Paul Regan CEB-FIP Model Code 90 Prática Recomendada IBRACON – Comentários Técnicos NB-1. Comitê Técnico CT-301 IBRACON. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento - NBR 6118/2003. Associação Brasileira de Normas Técnicas.